Keppler vydává zákony o planetárním pohybu - historie

Keppler vydává zákony o planetárním pohybu - historie

V roce 1609 vydal Johannes Kepler své první dva zákony planetárního pohybu. Jeho zákony vysvětlovaly pohyb planet kolem Slunce.

Prohlášení: Následující materiál je uchováván online pro účely archivace.

Přehled pro učitele přírodních věd


    Níže je přednáška učená přírodovědcům z okresu Anne Arundel, Maryland, 23. března 2005. Obsahuje přehled Keplerových zákonů s příklady, aplikacemi, problémy a související historií, zdroj pro materiály ve třídě
    Je klíčován a propojen s příslušnými sekcemi „Od hvězdářů ke hvězdným lodím“. Učitelé dostali také disky s webovým materiálem, který jim umožňoval přístup offline.


Velká část tohoto přehledu je čerpána z „Od hvězdářů ke hvězdným lodím“, podrobného kurzu astronomie, newtonovské mechaniky, fyziky Slunce a vesmírných letů. Jeho domovská stránka je http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm a také obsahuje překlady (španělština, italština a francouzština), glosář, časovou osu, problémy, plány lekcí, více než 500 odpovědí na otázky uživatelů a více. Používá algebru a trigonometrii (k níž je zahrnut krátký kurz), klade důraz na koncepční porozumění, historii, aplikace a vazby na kulturu a společnost a její sekce pokrývají širokou škálu úrovní, od střední školy až po vysokou školu prvního ročníku.

Rychlý průvodce sekcemi „Hvězdářů“ souvisejících s Keplerovými zákony najdete v sekci „Keplerovy zákony“. V následujícím textu budou tyto sekce někdy označovány jejich čísly. Na úplný seznam odkazů se můžete dostat také z „Mapy stránek“ v horní části této stránky nebo z „Zpět na domovskou stránku“ na konci.

    Upozorňujeme, že zde uvedené adresy jsou zkráceny, protože jste již přihlášeni do „hvězdných hvězd“.
    Domovská stránka je tedy Sintro.htm
    ne http://www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm

„Hvězdáři“ obsahují více materiálu, než je možné v běžné třídě zvládnout. Učitelé přesto potřebují širší znalosti, které jim umožní vybírat si materiál podle okolností a zmiňovat liché drobnosti bez podrobné diskuse, jen aby vzbudily zájem.

A někteří velmi šťastní učitelé mohou někdy ve třídě najít dítě nebo dva, kteří opravdu chtějí zjistit více. Takoví studenti sem mohou být nasměrováni, aby uspokojili svůj zájem.

Tento přehled se zaměřuje na tři položky:
--- jaké jsou Keplerovy zákony, co znamenají a proč jsou důležité.


  1. Planety se pohybují kolem Slunce v elipsách, přičemž Slunce je v jednom ohnisku
  2. Přímka spojující Slunce s planetou zametá stejné oblasti ve stejnou dobu.
  3. Čtverec oběžné doby planety je úměrný krychli (3. mocnina) střední vzdálenosti od Slunce
    (také uváděno jako-. "hlavní poloosy" orbitální elipsy, polovina součtu nejmenších a největších vzdáleností od Slunce)

Význam Keplerových zákonů

Keplerovy zákony popisují pohyb planet kolem Slunce.
Kepler znal 6 planet: Zemi, Venuši, Merkur, Mars, Jupiter a Saturn.

Oběžná dráha Země kolem Slunce.
Toto je perspektivní pohled, tvar
skutečná oběžná dráha je velmi blízko kruhu.

Všichni tito (také Měsíc) se pohybují téměř ve stejné ploché rovině (část č. 2 ve „Hvězdných hvězdách“). Sluneční soustava je plochá jako palačinka! Země je také na palačince, takže vidíme celý systém na hraně-celá palačinka zabírá jednu linii (nebo možná úzký pruh) protínající oblohu, známou jako ekliptika. Každá planeta, Měsíc i Slunce, se pohybují podél nebo v blízkosti ekliptiky. Vidíte-li hromadu jasných hvězd natažených v řadě po obloze-s čárou, která pravděpodobně zahrnuje také Měsíc (jehož oběžná dráha je také blízká té „palačince“), nebo místo na obzoru, kde mělo Slunce právě nastaveno- pravděpodobně vidíte planety.

    Starověcí astronomové věřili, že Země je středem vesmíru-hvězdy byly na kouli, která kolem ní rotovala (nyní víme, že se ve skutečnosti otáčí Země) a planety se pohybovaly na vlastních „krystalových sférách“ s proměnnou rychlostí. Obvykle se pohybovali stejným směrem, ale někdy se jejich pohyb na měsíc nebo dva obrátil a nikdo nevěděl proč.

Polský duchovní jménem Nicholas Copernicus do roku 1543 zjistil, že tyto pohyby dávají smysl, pokud se planety pohybují kolem Slunce, pokud je Země jednou z nich a vzdálenější se pohybují pomaleji. Země pak někdy předběhne pomalejší planety vzdálenější od Slunce, čímž se jejich pozice mezi hvězdami (na chvíli) pohnou dozadu. Dráhy Venuše a Merkuru se nacházejí uvnitř Země, takže nejsou nikdy vidět daleko od Slunce (např. O půlnoci).

Doufám, že vám popis těchto vlastností-„palačinka“ ekliptiky, obrácený („retrográdní“) pohyb, Venuše vždy blízko Slunci-pomůže studentům získat pocit vzhledu planet na obloze, jako jasné hvězdy pohybující se po stejné dráze jako Slunce a Měsíc. 12 souhvězdí podél této linie je známo jako zvěrokruh, což je jméno, které by mělo být známé těm, kteří sledují astrologii. Zdá se, že Venuše, nejjasnější planeta, poskakuje tam a zpět napříč polohou Slunce, stejně jako Merkur -ale protože je mnohem blíže ke Slunci, můžete ji vidět pouze tehdy, když je od Slunce nejvzdálenější, a pak jen krátce po západu slunce nebo před východem slunce.

Studenti pravděpodobně slyšeli nebo četli, že papež a církev bojovali proti myšlence Koperníka, protože v jednom ze žalmů (což jsou opravdu modlitební básně) bible říká, že Bůh „postavil Zemi, že se nebude hýbat“ [že byl jeden překlad: správnější může být „nespadne“]. Galileo, italský současník Keplera, který podporoval myšlenky Koperníka, byl souzen církví za neposlušnost a po zbytek života byl odsouzen k domácímu vězení.

Byl to věk, kdy lidé často sledovali starověké autory (jako řecké Aristoteles), než aby na vlastní oči sledovali, co příroda doopravdy dělá. Když lidé začali kontrolovat, pozorovat, experimentovat a počítat, nastala éra vědecké revoluce a technologie. Naše moderní technologie je konečným výsledkem a Keplerovy zákony (společně s prací Galilea a Williama Gilberta o magnetismu) jsou důležité, protože odstartovaly tuto revoluci.

Johannes
Kepler

Kepler spolupracoval s dánským šlechticem Tycho Brahe, který tlačil astronomii před teleskopem na tu největší přesnost, a měřil polohy planet tak přesně, jak to oko dokázalo (Brahe zemřel v roce 1602 v Praze, nyní české hlavní teleskopy začaly s Galileem kolem roku 1609 ). Pokud si o tom chcete přečíst, doporučuji „Tycho a Kepler“ od Kitty Ferguson, recenzované na http://www.phy6.org/outreach/books/Tycho.htm nebo si alespoň přečtěte recenzi. Dovolím si z toho citovat:

    Náboženská nesnášenlivost byla velmi rozšířená-události směřovaly ke třicetileté válce (1618-48), nejničivější náboženské bitvě v Evropě, která se odrážela v občanské válce v Británii. Kepler byl vytlačen ze Štýrského Hradce, mezi všemi ostatními zaměstnanci protestantských škol ve městě, poté, co vládnoucí arcivévoda nařídil, že musí opustit město za soumraku, téhož dne. Byla to také doba, kdy byla Keplerova matka zatčena za čarodějnictví, kdy většina jeho četných dětí zemřela v dětství a kdy bylo Tychovo manželství považováno za druhořadý svazek „slegfred“, protože jeho vyvolená manželka nepocházela ze šlechty.

Zkuste to předat i studentům. 1620 bylo, když „Poutníci“ přistáli v Plymouth Rock, prchající před vypuknutím náboženské války, která později zpustošila Evropu. Dost možná právě vzpomínka na takové války vedla USA, mnohem později, k vyhlášce oddělení církve a státu. Vysvětlete, jak spolu rozvoj vědy a společnosti často úzce souvisí.

Keplerův první zákon

Nejprve vysvětlete, co je to elipsa: jedna z „kuželoseček“, tvarů, které se získávají krájením kužele s rovným povrchem. Svítilna vytváří kužel světla: namiřte ji na rovnou stěnu a získáte kuželovitý řez.

    Narážejte kolmo na zeď. Stěna prořízne kužel kolmo na jeho osu a získáte kruh světla.

Nakloňte kužel vůči zdi: elipsa. Čím více se nakloníte, tím více se elipsa zavře.

Křivky generované jako
& quot; kónické sekce & quot; když jsou ploché
letadla jsou řezána přes kužel.

Nakonec, pokud je osa kužele rovnoběžná se stěnou, křivka se nikdy neuzavře: získáte parabolu. Keplerovy zákony (jak je nyní známe) umožňují všechny kuželosečky a paraboly jsou velmi blízko oběžných drah neperiodických komet, které začínají velmi daleko.

Je toho mnohem, mnohem víc. ale dovolte mi jen uvést dva body. Jsou to dobré body ke zvýšení ve třídě, protože spojují Keplerovo dílo z roku 1610 s nejnovějšími vědeckými objevy 21. století.

Níže je uvedena velmi slavná elipsa. Jeho příběh je vyprávěn v sekci #S7-a http://www.phy6.org/stargaze/Sblkhole.htm

Pravděpodobně všichni víte, že naše slunce je součástí obrovské hvězdicovité sbírky hvězd-při posledním počtu asi 100 miliard-zvané galaxie. Je to plochý disk, palačinka jako sluneční soustava-a i tady se na tu palačinku díváme bokem, takže také v úzkém pruhu vyřezává výhled. V tomto pruhu vidíme pás slabých hvězd, běžících po celém světě oblohy, „Mléčné dráze“.

Co drží naši galaxii (a vzdálenější) pohromadě? Dlouho se věřilo, že uprostřed je obrovská černá díra, ale ten střed byl zakryt oblaky prachu, a proto ho nebylo snadné pozorovat. Nedávno byly postaveny teleskopy s vysokým rozlišením citlivé na infračervené světlo, které vidí přes prach, a ukázaly velkou koncentraci rychle se pohybujících hvězd poblíž středu galaxie na oběžných drahách, které dodržují Keplerovy zákony. Web zobrazuje elipsu hvězdy obíhající kolem cente r jednou za 15,2 let a výpočty odvozují hmotnost asi 3,7 milionu sluncí, dávají nebo berou 1,5 milionu.

    [Pouze pro astronomy: centrální hmota pomáhá udržet galaxii pohromadě, ale je v ní zahrnuto mnohem více hmoty, takže rotace více rozšířených částí galaxií není v souladu s Keplerovým 3. zákonem. Ve skutečnosti se zdá, že jejich hlavní části rotují jako pevné disky, což je těžké vysvětlit, pokud nepředpokládáme, že galaxie obsahují kromě zářících hvězd i spoustu „temné hmoty“, která ovlivňuje gravitaci, ale je neviditelná. Viz poznámka a konec #20]

Za druhé, řekli jsme, že Země obíhá kolem Slunce (a mimochodem, stejné zákony platí i pro umělé satelity, které obíhají kolem Země). Ale představte si, že byste mohli postupně dělat Zemi těžší a těžší a Slunce zároveň lehčí a lehčí. Co pak? V místě, kde jsou Země a Slunce stejně těžké- které oběžné dráhy které?

    --- Nejprve vymyslel základní pohybové zákony-od té doby známé jako „Newtonovy 3 pohybové zákony“ a pravděpodobně je také učíte.

--- Za druhé, dal nám zákon univerzální gravitace-ukázal, že stejná síla, která způsobila pád jablek a kamenů, také držela Měsíc na oběžné dráze-a proto pravděpodobně vytvořil všechny oběžné dráhy ve sluneční soustavě .

Proč je toto důležité? Protože nám to pomáhá zjistit, zda jiné hvězdy mají planety! Tyto planety-příliš slabé-nevidíme, ale pokud se hvězda komplikovaně vrtí tam a zpět, může to být způsobeno tím, že se planeta tak hýbe.

Funguje to? Ano i ne (konec #11a). Bylo objeveno mnoho planet tímto způsobem, ale většina z nich je příliš blízko hvězdy (kroutí se v časovém měřítku týdnů) a je velmi velká. Objevování planet podobných Zemi je těžší-kroutit se je menší a my potřebujeme pozorovat mnoho let, abychom získali periodicitu řádově jeden rok. Ale sledujte nás, astronomové na tom pracují.
------------------

2. Keplerův zákon

(Tato čára se někdy nazývá „vektor poloměru“).

Ilustrující Keplerův druhý zákon:
segmenty AB a CD berou
stejné časy na pokrytí.

Elipsa je symetrický podlouhlý ovál se dvěma ohnisky symetricky lokalizovanými směrem k „ostřejším“ koncům-jedno ohnisko obsahuje Slunce, druhé je prázdné. (Nakreslete takovou elipsu.) Přiblížíme -li ohniska stále blíže, bude se elipsa stále více podobat kruhu, a když se překrývají, kruh skutečně máme.

    [Oběžná dráha Země a většina planetárních drah jsou velmi blízko kruhům. Pokud by vám byla ukázána oběžná dráha Země bez Slunce v ohnisku, pravděpodobně byste ji nerozeznali od kruhu. Se zahrnutým Sluncem si však můžete všimnout, že je trochu mimo střed.]
    (Hvězda S2 zrychluje až 2% rychlosti světla, když se blíží k černé díře ve středu naší galaxie!)

To, co se stane, lze nejlépe pochopit z hlediska energie. Jak se planeta vzdaluje od Slunce (nebo satelitu od Země), ztrácí energii překonáním gravitačního tahu a zpomaluje, jako kámen hozený nahoru. A stejně jako kámen získává zpět svoji energii (zcela-žádný odpor vzduchu v prostoru).

Zde je snadné cvičení, které je také v sekci #12A http://www.phy6.org/stargaze/Skepl2A.htm

Předpokládejme, že máte planetu, jejíž nejmenší/největší vzdálenost od středu je (r 1, r 2)-nazývají se perihelion a aphelion [ap-helion]), pokud je středem Slunce, nebo (perigee, apogee), pokud středem je Země. (Vzdálenosti se vždy měří od středu těles nebo od těžiště)

Řekněme, že je to planeta obíhající kolem Slunce. Pak
- rychlost V 1 na perihelionu je nejrychlejší na oběžné dráze. Jedná se tedy o vzdálenost uraženou za jednu sekundu v periheliu.
- rychlost V 2 na aphelionu je pro oběžnou dráhu nejpomalejší. Jedná se tedy o vzdálenost uraženou za jednu sekundu při aféliu.

Oblast zmetená „vektorem poloměru“ r během jedné sekundy po perihelionu je pravoúhlý trojúhelník základny V 1, takže její plocha je 0,5 r 1 V 1

Oblast smetená „vektorem poloměru“ r během jedné sekundy po aféliu je pravoúhlý trojúhelník o základně V 2, takže její plocha je 0,5 r 2 V 2

Podle zákona o oblastech jsou obě oblasti stejné, takže r 1 V 1 = r 2 V 2
Vydělte obě strany r 1 V 2
a získejte V 1: V 2 = r 2: r 1

Pokud je aphelion r 2 trojnásobkem vzdálenosti perihelionu, rychlost V 2 je 3krát pomalejší. (Poznámka: tento poměr funguje pouze v těchto dvou bodech oběžné dráhy. V jiném bodě nejsou rychlost a poloměr kolmé.)
----------------

Kdy jsme nejblíže Slunci? Asi 4. ledna, asi o 1,5%, ne dost na to, aby vypadalo Slunce jinak.
Zde je rychlý způsob, jak tuto asymetrii předvést (i když možná nebudete mít čas ji ve třídě pokrýt). Nakreslete elipsu s dlouhou osou a přímkou ​​k ní kolmou přes Slunce)
Stává se (čistá nehoda), že jarní rovnodennost a podzimní rovnodennost, kdy jsou den a noc stejné, obvykle 21. března, 22. nebo 23. září, spadají velmi blízko této kolmé čáry.

Podívejte se na schematický pohled na oběžnou dráhu Země v sekci #3. Dlouhá osa (jak je definována výše) je čára spojující prosinec-červen na tomto výkresu a kolmá čára je ta, která spojuje březen-září.

Ve skutečnosti platí obě podmínky, pokud je Země nejblíže Slunci kolem 4. ledna. „Polovina“ elipsy (určená kolmou čárou definovanou výše), která je blíže ke Slunci, je menší (demonstrujte kresbou elipsy, která je zejména oválný) a podle 2. Keplerova zákona se Země pohybuje blíže ke Slunci rychleji.
-------------------------

Skutečnost, že severní polokoule je Slunci nejblíže v polovině zimy a nejvíce daleko v polovině léta, mírní roční období, takže jsou mírnější.
Na jižní polokouli by byly drsnější, přestože tamní velké oceány tento efekt zmírňují.

Osa Země se ale pohybuje kolem kužele, asi za 26 000 let. Za 13 000 let budeme Slunci v létě nejblíže a klima bude drsnější. Jak je popsáno v části 7, může to být jeden z efektů spojených s počátky doby ledové, ale podrobnosti přesahují rámec tohoto přehledu.

3. Keplerův zákon

    (3) Čtverec oběžné doby planety je proporcionální
    na krychli střední vzdálenosti od Slunce

Toto je matematický zákon a vaši studenti potřebují kalkulačky s odmocninami, také 3/2 mocninami a 2/3 mocninami (a možná kostkami nebo 1/3 mocnin, totéž) ..

Pokud mají dvě planety (nebo dva satelity Země-fungují stejně) oběžné doby T1 a T2 dny nebo roky a střední vzdálenosti od Slunce (nebo polovýznamových os) A1 a A2, pak vzorec vyjadřující 3. zákon je

Studenti se hned zeptají-můžeme počítat dny, abychom získali oběžnou dobu T (i když to může být složité, potřebujeme odečíst pohyb Země kolem Slunce)-ale jak poznáme vzdálenost A?

Po pravdě řečeno nemáme, ale všimněte si, že jsou potřeba pouze poměry vzdáleností a jednotky neovlivňují poměry. Předpokládejme například, že „Planeta 2“ je Země a všechny časy jsou v letech. Potom T 2 = 1 (rok) a můžeme změřit všechny vzdálenosti v astronomických jednotkách (AU), střední vzdálenost Slunce-Země, takže A 2 = 1 (AU). Zákon se pak stane pro jakoukoli jinou planetu (T 1) 2 = (A 1) 3 To lze zkontrolovat a v sekci 10 najdete výsledky na tabulce:

Vidíte, že i přes naši omezenou přesnost platí zákon docela dobře. Ukazuje také, že čím větší je vzdálenost, tím je pohyb pomalejší, což vede k předbíhání vnějších planet Zemí, čímž se zdá, že se (na chvíli) pohybují dozadu vzhledem k pevným hvězdám na obloze. To vše můžete matematicky prokázat na kruhových drahách pomocí Newtonových zákonů (viz část #21), ale zase to přeskočím.

V kilometrech je astronomická jednotka asi 150 000 000 km, což je 400násobek vzdálenosti Měsíce. Byly učiněny nejrůznější pokusy o jeho odvození, počínaje starověkým řeckým Aristarchem (sekce #9a) a jsou diskutovány v sektě #10a. Poprvé to bylo provedeno s jakoukoli přesností v roce 1672 a vzrušení z nedávného „přechodu Venuše“ před Sluncem bylo motivováno návrhem, který v té době předložil Halley (slávy komety) použít tak vzácné tranzity k měření AU . K těm nejnovějším došlo v letech 2004 a 2012, poté před dalším uplynulo více než století. Hrubá verze výpočtu, ne krátká, je v oddílech #12c až #12e „Hvězdných hvězd“. (Některé další „metody“ lze nalézt na webu, zahrnující tranzit Venuše, ale ne jeho trvání, a nejsou pravé.)

S Keplerovým třetím zákonem lze vyřešit všechny druhy problémů. Zde je několik:

    Jak dlouho trvá dosažení Marsu na nejefektivnější oběžné dráze? Říká se tomu „přenosová oběžná dráha Hohmann“ (Wolfgang Hohmann, 1925). Vesmírná loď se musí nejprve osvobodit od Země (stále obíhá kolem Slunce společně se Zemí, rychlostí 30 km/s, ve vzdálenosti 1 AU), poté přidává rychlost tak, aby se její aphelion (na své oběžné dráze kolem Slunce) jen pásl oběžná dráha Marsu, A = 1,524 AU (ignorování elipticity).
    Přenosová oběžná dráha Hohmann

Pro oběžnou dráhu Hohmann je nejmenší vzdálenost 1,00 AU (Země), největší 1,524 AU (Mars), takže hlavní osa je A = 0,5 (1,00 + 1,524) = 1,262 AU A 3 = 2,00992 = T 2
Období je odmocnina T = 1,412 let
Dosažení Marsu trvá pouhou polovinu oběžné dráhy nebo T/2 = 0,7088 let
To se rovná asi 8,5 měsíce více podrobností je v sekci #21b.

Abychom dosáhli Slunce přímo ze Země, potřebujeme sestřelit vesmírnou loď bez Země. Stále obíhá kolem Slunce se Zemí rychlostí 30 km/s (nízká oběžná dráha Země trvá pouze 8 km/s), takže mu musíme dát opačný tah a přidat (-30 km/s) k jeho rychlosti. Poté padá přímo do Slunce.

Tato oběžná dráha je také elipsa, i když velmi hubená. Jeho celková délka je 1 (AU), takže semimajorová osa je A = 0,5 AU. Podle třetího zákona platí, že A 3 = 0,125 = T2 a odmocnina T = 0,35355 let. Potřebujeme to vydělit 2 (je to jednosměrná cesta!) A vynásobit 365,25, abychom získali dny. Násobení: T/2 = (0,5) 0,35355 (365,25) = 64,6 dne

Toto číslo je mezi 6 3 = 216 a 7 3 = 343, takže když kalkulačka dává R = 6,614 RE. víš, že jsi to pochopil správně.

Pokud jste učitel, který se snaží pokrýt Keplerovy zákony, doufám, že vám tento rychlý přehled poskytl širokou škálu nástrojů a poznatků, které se mohou ve třídě ukázat jako užitečné.

Teď to předejte dál! Na zde popsaných webech najdete mnohem více.


Keplerovy zákony planetárního pohybu

Naši redaktoři zkontrolují, co jste odeslali, a určí, zda článek zrevidují.

Keplerovy zákony planetárního pohybu, v astronomii a klasické fyzice zákony popisující pohyby planet ve sluneční soustavě. Odvodil je německý astronom Johannes Kepler, jehož analýza pozorování dánského astronoma 16. století Tycho Brahe mu umožnila oznámit své první dva zákony v roce 1609 a třetí zákon téměř o deset let později, v roce 1618. Sám Kepler nikdy tyto zákony nečísloval ani zvlášť nerozlišoval od svých ostatních objevů.

Co znamená Keplerův první zákon?

První Keplerův zákon znamená, že planety se pohybují kolem Slunce po eliptických drahách. Elipsa je tvar, který připomíná zploštělý kruh. Jak moc je kruh zploštěn, je vyjádřeno jeho excentricitou. Excentricita je číslo mezi 0 a 1. Je to nula pro dokonalý kruh.

Co je to výstřednost a jak se určuje?

Excentricita elipsy měří, jak je kruh zploštělý. Rovná se odmocnině z [1 - b*b/(a*a)]. Písmeno a znamená poloviční osu, ½ vzdálenost podél dlouhé osy elipsy. Písmeno b znamená osu semiminor, ½ vzdálenost přes krátkou osu elipsy. Pro dokonalý kruh jsou a a b stejné, takže excentricita je nulová. Oběžná dráha Země má excentricitu 0,0167, takže je to téměř dokonalý kruh.

Co znamená třetí Keplerův zákon?

Jak dlouho planetě trvá obejít Slunce (její perioda, P), souvisí se střední vzdáleností planety od Slunce (d). To znamená, že čtverec periody, P*P, dělený krychlí střední vzdálenosti, d*d*d, se rovná konstantě. Pro každou planetu, bez ohledu na její období nebo vzdálenost, je P*P/(d*d*d) stejné číslo.

Proč je oběžná dráha planety pomalejší, čím dále je od Slunce?

Planeta se pohybuje pomaleji, když je dále od Slunce, protože její moment hybnosti se nemění. U kruhové dráhy je moment hybnosti roven hmotnosti planety (m) krát vzdálenost planety od Slunce (d) krát rychlost planety (v). Protože m*v*d se nemění, když je planeta blízko Slunci, d se zmenšuje, jak se v zvětšuje. Když je planeta daleko od Slunce, d se zvětšuje, zatímco v se zmenšuje.

Kde je Země, když cestuje nejrychleji?

Z druhého Keplerova zákona vyplývá, že Země se pohybuje nejrychleji, když je nejblíže Slunci. K tomu dochází na začátku ledna, kdy je Země asi 147 milionů km (91 milionů mil) od Slunce. Když je Země nejblíže ke Slunci, pohybuje se rychlostí 30,3 kilometru (18,8 mil) za sekundu.


Nomenklatura

Trvalo téměř dvě století, než současná formulace Keplerova díla získala svou ustálenou podobu. Voltaire Eléments de la philosophie de Newton (Prvky Newtonovy filozofie) z roku 1738 byla první publikací, která používala terminologii „zákonů“. [1] [2] The Biografická encyklopedie astronomů ve svém článku o Keplerovi (s. 620) uvádí, že terminologie vědeckých zákonů pro tyto objevy byla aktuální přinejmenším od dob Josepha de Lalande. [3] Byla to expozice Roberta Smalle, in Zpráva o astronomických objevech Keplera (1814), který tvořil soubor tří zákonů, přidáním třetího. [4] Small také proti historii tvrdil, že se jedná o empirické zákony, založené na induktivním uvažování. [2] [5]

Současné použití „Keplerova druhého zákona“ je navíc poněkud nesprávné. Kepler měl dvě verze, související v kvalitativním smyslu: „zákon o vzdálenosti“ a „oblastní zákon“. „Oblastní zákon“ je to, co se stalo druhým zákonem v souboru tří, ale Kepler to sám privilegoval tímto způsobem. [6]


Keplerovy zákony planetárního pohybu: 1609–1666*

Historici vědy ze sedmnáctého století často tvrdili, že Keplerovy zákony planetárního pohybu byly v době mezi jejich první publikací (1609, 1619) a vydáním Newtonova Principia (1687) do značné míry ignorovány. Ve skutečnosti však byli známější a uznávanější, než se obecně uznávalo.

Keplerovy myšlenky se skutečně prosazovaly poměrně pomalu a asi do roku 1630 je v tehdejší literatuře jen málo odkazů. Ale od té doby se zájem o ně poměrně rychle zvyšoval. Zejména princip eliptických drah byl přijat většinou předních astronomů ve Francii před rokem 1645 a v Anglii kolem roku 1655. Dostalo se mu také poměrně silné podpory v Holandsku.

Druhý zákon měl pestřejší historii. Bylo to vyhlášeno v přesné podobě několika spisovateli a v praxi to bylo používáno některými jinými, aniž by to bylo výslovně formulováno, ale většina, zvláště po roce 1645, preferovala jednu nebo druhou z několika variantních forem, které byly snadněji použitelné, ale jen přibližně správné. Třetí zákon přitahoval menší zájem než ostatní, hlavně možná proto, že neměl uspokojivý teoretický základ, ale během sledovaného období ho správně uvedlo nejméně šest autorů.

Mezi lety 1630 a 1650 byla Keplerova epitome Astronomiae Copernicanae (v níž byly jasně formulovány všechny tři zákony) pravděpodobně nejčtenější prací z teoretické astronomie v severní a západní Evropě, zatímco jeho rudolfínské tabulky, které vycházely z prvních dvou zákonů, byly považována většinou astronomů za nejpřesnější dostupné planetární tabulky.

Keplerově práci se rozhodně nedostalo veškerého uznání, které by si zasloužila, ale do jaké míry byla opomíjena, bylo hodně přehnané.


Keplerův třetí zákon

Třetí Keplerův zákon říká, že druhá mocnina oběžné doby je úměrná krychli semi-hlavní osy elipsy vysledované oběžnou dráhou. Třetí zákon lze prokázat použitím druhého zákona. Předpokládejme, že oběžná doba je τ. Protože plocha elipsy je πab, kde a a b jsou délky poloviční a poloviční osy. Druhý Keplerův zákon uvádí:

Z rovnice pro excentricitu jsou délky poloosy vztaženy vztahem:

Vyrovnejte obě strany druhé zákonné rovnice a poté připojte tento výsledek pro b²:

Připomeňme naši rovnici pro r (θ):

Spadli jsme θ₀ a zvolili jsme souřadnicový systém, ve kterém se θ = 0 shoduje s apoapsis. Délka apoapse je a (1-e) a jejímž přirovnáním k r (0) dostaneme:

Nyní dokončíme důkaz vložením do rovnice pro období:


Keplerovo chápání zákonů

Kepler nechápal, proč jsou jeho zákony správné, byl to Isaac Newton, kdo na to objevil odpověď o více než padesát let později. Newton, chápaje, že jeho třetí pohybový zákon souvisí s Keplerovým třetím zákonem planetárního pohybu, vymyslel následující:

  • P = hvězdné období objektu
  • A = poloviční osa objektu
  • G = 6,67 a krát 10 a mínus 11 N m m 2 /kg 2 = gravitační konstanta
  • m1 = hmotnost předmětu 1
  • m2 = hmotnost předmětu 2
  • & pi = matematická konstanta pí

Astronomové provádějící nebeskou mechaniku často používají jednotky let, AU, G = 1 a sluneční hmotnosti a m2 & lt & ltm1, toto se zmenší na Keplerovu formu. V tomto vzorci lze přímo použít také jednotky SI.


Poloha jako funkce času

Kepler použil své první dva zákony k výpočtu polohy planety jako funkce času. Jeho metoda zahrnuje řešení transcendentální rovnice zvané Keplerova rovnice.

Postup pro výpočet heliocentrických polárních souřadnic (r,θ) planety jako funkce času t od perihelionu jsou následující čtyři kroky:

1. Vypočítejte znamenat anomálii M = nt kde n je střední pohyb. radiány kde P je období. 2. Vypočítejte excentrická anomálie E řešením Keplerovy rovnice: 3. Vypočítejte skutečná anomálie θ podle rovnice: 4. Vypočítejte heliocentrická vzdálenost

Důležitý zvláštní případ kruhové oběžné dráhy, ε  = ـ, dává θ = E = M. Protože byl považován za rovnoměrný kruhový pohyb normální, odchylka od tohoto pohybu byla považována za anomálie.

Důkaz tohoto postupu je uveden níže.

Střední anomálie, M

Keplerovský problém předpokládá eliptickou oběžnou dráhu a čtyři body:

s slunce (na jednom ohnisku elipsy) z přísluní C střed elipsy p planetu

vzdálenost mezi středem a perihelionem, semimajor osa, the excentricita, the semiminorová osa, vzdálenost mezi Sluncem a planetou. směr k planetě při pohledu ze Slunce, skutečná anomálie.

Problém je spočítat polární souřadnice (r,θ) planety z doba od příslunít.

Řeší se to v krocích. Kepler považoval kruh s hlavní osou za průměr a

projekce planety do pomocného kruhu bod na kružnici takový, aby sektorové oblasti |zcy| a |zsx| jsou si rovni, the znamenat anomálii.

Sektorové oblasti spolu souvisejí

Oblast kruhového sektoru

Oblast se přehnala od přísluní,

je podle druhého Keplerova zákona úměrný času od přísluní. Takže průměrná anomálie, M, je úměrné času od přísluní, t.

Excentrická anomálie, E

Když střední anomálie M je vypočítán, cílem je vypočítat skutečnou anomálii θ. Funkce θ = F(M) není elementární. [19] Keplerovým řešením je použít

, X jak je vidět ze středu, excentrická anomálie

jako přechodná proměnná a první výpočet E jako funkce M vyřešením níže uvedené Keplerovy rovnice a poté vypočítat skutečnou anomálii θ z excentrické anomálie E. Zde jsou podrobnosti.

Rozdělení podle A 2 /2 dává Keplerova rovnice

Tato rovnice dává M jako funkce E. Určení E pro daný M je inverzní problém. Běžně se používají iterační numerické algoritmy.

Po výpočtu excentrické anomálie E, dalším krokem je výpočet skutečné anomálie θ.

Skutečná anomálie, θ

Všimněte si toho z obrázku

Rozdělení podle a vkládání z prvního Keplerova zákona

Výsledkem je použitelný vztah mezi excentrickou anomálií E a skutečná anomálie  θ.

Výpočetně výhodnější forma následuje nahrazením do goniometrické identity:

Násobení 1  + ε dává výsledek

Toto je třetí krok ve spojení mezi časem a polohou na oběžné dráze.

Vzdálenost, r

Čtvrtým krokem je výpočet heliocentrické vzdálenosti r ze skutečné anomálie θ podle prvního Keplerova zákona:

Pomocí výše uvedeného vztahu mezi θ a E konečná rovnice vzdálenosti r je:


Pojmy související s Keplerovými zákony planetárního pohybu

Příkladů oběžných drah je mnoho. Kolem Země obíhají stovky umělých satelitů spolu s tisíci kusy úlomků. Oběžná dráha Měsíce kolem Země fascinuje lidi od nepaměti. Neméně zajímavé jsou oběžné dráhy planet, asteroidů, meteorů a komet kolem Slunce. Podíváme -li se dále, uvidíme téměř nepředstavitelné počty hvězd, galaxií a dalších nebeských objektů, které navzájem obíhají a působí gravitací.

Všechny tyto pohyby jsou řízeny gravitační silou. Oběžné pohyby objektů v naší vlastní sluneční soustavě lze dostatečně snadno popsat několika poměrně jednoduchými zákony. Dráhy planet a měsíců splňují následující dvě podmínky:

  • Hmotnost obíhajícího objektu, m, je malá ve srovnání s hmotností předmětu, který obíhá, M.
  • Systém je izolován od ostatních masivních objektů.

Na základě pohybu planet o slunci Kepler vymyslel soubor tří klasických zákonů, nazývaných Keplerovy zákony planetárního pohybu, které popisují dráhy všech těles, která splňují tyto dvě podmínky:

  1. Oběžná dráha každé planety kolem Slunce je elipsa se sluncem v jednom ohnisku.
  2. Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times.
  3. The ratio of the squares of the periods of any two planets about the sun is equal to the ratio of the cubes of their average distances from the sun.

These descriptive laws are named for the German astronomer Johannes Kepler (1571–1630). He devised them after careful study (over some 20 years) of a large amount of meticulously recorded observations of planetary motion done by Tycho Brahe (1546–1601). Such careful collection and detailed recording of methods and data are hallmarks of good science. Data constitute the evidence from which new interpretations and meanings can be constructed. Let’s look closer at each of these laws.

Kepler’s First Law

The orbit of each planet about the sun is an ellipse with the sun at one focus, as shown in Figure 7.2. The planet’s closest approach to the sun is called perihelion and its farthest distance from the sun is called aphelion.

If you know the aphelion (rA) and perihelion (rp) distances, then you can calculate the semi-major axis (A) and semi-minor axis (b).

Kepler’s Second Law

Each planet moves so that an imaginary line drawn from the sun to the planet sweeps out equal areas in equal times, as shown in Figure 7.4.

Tips For Success

Note that while, for historical reasons, Kepler’s laws are stated for planets orbiting the sun, they are actually valid for all bodies satisfying the two previously stated conditions.

Kepler’s Third Law

The ratio of the periods squared of any two planets around the sun is equal to the ratio of their average distances from the sun cubed. In equation form, this is

kde T is the period (time for one orbit) and r is the average distance (also called orbital radius). This equation is valid only for comparing two small masses orbiting a single large mass. Most importantly, this is only a descriptive equation it gives no information about the cause of the equality.

Links To Physics

History: Ptolemy vs. Copernicus

Before the discoveries of Kepler, Copernicus, Galileo, Newton, and others, the solar system was thought to revolve around Earth as shown in Figure 7.5 (a). This is called the Ptolemaic model , named for the Greek philosopher Ptolemy who lived in the second century AD. The Ptolemaic model is characterized by a list of facts for the motions of planets, with no explanation of cause and effect. There tended to be a different rule for each heavenly body and a general lack of simplicity.

Figure 7.5 (b) represents the modern or Copernican model . In this model, a small set of rules and a single underlying force explain not only all planetary motion in the solar system, but also all other situations involving gravity. The breadth and simplicity of the laws of physics are compelling.

Nicolaus Copernicus (1473–1543) first had the idea that the planets circle the sun, in about 1514. It took him almost 20 years to work out the mathematical details for his model. He waited another 10 years or so to publish his work. It is thought he hesitated because he was afraid people would make fun of his theory. Actually, the reaction of many people was more one of fear and anger. Many people felt the Copernican model threatened their basic belief system. About 100 years later, the astronomer Galileo was put under house arrest for providing evidence that planets, including Earth, orbited the sun. In all, it took almost 300 years for everyone to admit that Copernicus had been right all along.

Explain why Earth does actually appear to be the center of the solar system.

  1. Earth appears to be the center of the solar system because Earth is at the center of the universe, and everything revolves around it in a circular orbit.
  2. Earth appears to be the center of the solar system because, in the reference frame of Earth, the sun, moon, and planets all appear to move across the sky as if they were circling Earth.
  3. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is at the center of the solar system and all the heavenly bodies revolve around it.
  4. Earth appears to be at the center of the solar system because Earth is located at one of the foci of the elliptical orbit of the sun, moon, and other planets.

Virtual Physics

Akcelerace

This simulation allows you to create your own solar system so that you can see how changing distances and masses determines the orbits of planets. Klikněte Help for instructions.


Practica Prophetica

F or eight years, Kepler sought unceasingly, with unremitting toil, to solve the law of planetary motion. During those years, he tried nineteen different hypotheses. One after another of these he was compelled to lay aside as not conforming to the motion of the planets. His courage and patience transfigured failure into success.

When, after days of study and nights of observation, the months showed a theory untenable, he turned from it without regret, knowing that there was one less theory to try. At last, he was compelled to give up every theory of the circle as the explanation of orbital motion. He then chose the next to the circle in simplicity, the ellipse. Here he found all the conditions met.

The problem at last was solved, and he cried,

“O almighty God, I am thinking Thy thoughts after Thee!”

When he had established his second and third laws, and written his exposition of them, he said:

“My book is written to be read either now or by posterity I care not which. It may well wait a century for a reader, since God has waited six thousand years for an observer.”

Other articles by Frank Zimmerman:

This entry was posted on Monday, December 16th, 2013 at 2:20 pm and is filed under Education. Jakékoli reakce na tento záznam můžete sledovat prostřednictvím kanálu RSS 2.0. You can leave a response, or trackback from your own site.


Podívejte se na video: Poslušajte: Hrvatski istoričar objasnio Srbima ko su Hrvati!